2: 不完全性定理是什么

说完了哥德尔，接下来说说什么是不完全性。大多数人的理解就是"存在不可证的真命题"，但其实不完全性是一个十分专业的逻辑学概念，不是简单几个字就能说清的。

首先还是要说一些背景性的东西。数学工作是靠数学证明来完成的，每个证明总得有个出发点，不然证明就无法开始。因此，整个数学必然要有一些不证自明的出发点，由它们出发来构建整个数学大厦。 这些出发点就是数学公理。但公理为什么是正确的呢？这时似乎就只能求助于我们的直观。那些直观上非常简单，甚至根本无法想象它不对的那些数学命题就能够作为公理， 比如欧式几何的五条公理：任意两点能连成一条直线、所有直角都相等…等等。这些都是看起来很trivial甚至不值一提的命题，但正是因为这样，它们才足够作为公理——因为它们看起来不可能错。 但人们逐渐发现，靠直观的公理还是有可能会错。比如集合论的公理（见 LLLBK：据说罗素悖论有解，如何解？）会导致矛盾，欧式几何的第五公理虽然说不上错但完全可以被修改为非欧几何。 直觉总是有可能不靠谱的，因此有些形式主义的数学家（如希尔伯特）希望把直觉完全排除出数学。这时，谁来保证公理为真？ 形式主义者会说，公理没有什么真假可言，也没有什么意义，它们仅仅是人为约定的符号组成的符号串而已，数学家所做的工作无非就是按照既定的推理规则从一个符号串推出另一个符号串。 这就像下象棋一样，每个棋子有自己的移动规则，车走直线，马会被拐马脚，炮需要支炮架才能攻击，这样的理解有助于我们记住每个棋子的移动规则。但即使不这样理解，也不影响一个人会下象棋。 他不必把棋子“车”理解为战车，“马”理解为马，“炮”理解为炮，“帅”理解为军队的大帅，他也可以学会下象棋并且下的不错。 数学家不必理解那些数学符号的“意义”，只需要知道该如何按照既定的推导规则推理下去就行了。这样一来，数学公理系统就变为了纯形式的符号系统。

3: 对哥德尔第一定理的误解

由于哥德尔的第一条定理有不少误解。我们举出一些例子：该定理并不意味着任何有意义的公理系统都是不完备的。该定理需假设公理系统可以“定义”自然数。 不过并非所有系统都能定义自然数，就算这些系统拥有包括自然数作为子集的模型。例如，欧几里得几何可以被一阶公理化为一个完备的系统（事实上，欧几里得的原创公理集已经非常接近于完备的系统。 所缺少的公理是非常直观的，以至于直到出现了形式化证明之后才注意到需要它们），塔尔斯基（Tarski）证明了实数和复数理论都是完备的一阶公理化系统。 这理论用在人工智能上，则指出有些道理可能是我们能够判别，但机器单纯用一阶公理化系统断却无法得知的道理。不过机器可以用非一阶公理化系统，例如实验、经验。

4: 推论

不完备性的结论影响了数学哲学以及形式化主义（使用形式符号描述原理）中的一些观点。我们可以将第一定理解释为“我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误”。

以下对第二定理的另一种说法甚至更令人不安：如果一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统可以用来证明它自身的相容性，那么它是不相容的。 于是，为了确立系统S的相容性，就要构建另一个系统T，但是T中的证明并不是完全可信的，除非不使用S就能确立T的相容性。

举个例子，自然数上的皮亚诺公理的相容性可以在集合论中证明，但不能单独在自然数理论范围内证明。这对大卫·希尔伯特的著名的未解决的23个数学问题中的第二个给出了一个否定回答。 理论上，哥德尔理论仍留下了一线希望：也许可以给出一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的，让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。然而，对可判定性问题的否定回答表明不存在这样的算法。 （此处的算法为严格定义，要求对任何输入都能在有限时间内停机）

要注意哥德尔理论只适用于较强的公理系统。“较强”意味着该理论包含了足够的算术以便承载对第一不完备定理证明过程的编码。 基本上，这就要求系统能将一些基本操作例如加法和乘法形式化，例如在鲁宾逊算术Q中那样。有一些更弱的公理系统是相容而且完备的，例如Presburger算术， 它包括所有的一阶逻辑的真命题和关于加法的真命题。公理系统可能含有无穷条公理（例如皮亚诺算术就是这样），但要哥德尔定理生效，必须存在检验证明是否正确的有效算法。 例如，可以将关于自然数的所有在标准模型中为真的一阶语句组成一个集合。这个公理系统是完备的；哥德尔定理之所以无效是因为不存在决定任何一条语句是否公理的有效算法。 从另一方面说，这个算法的不存在正是哥德尔定理的直接结果。

另一个哥德尔定理不适用的特殊情况是：将关于自然数的所有语句首先按长度然后按字典顺序排序，并从皮亚诺公理集开始，一个一个遍历列表， 如果发现一条语句既不能证明又不能否证，就将它作为公理加入。这样得到的系统是完备的，兼容的，并且是足够强大的，但不是递归可枚举的。 哥德尔本人只证明了以上定理的一个较弱版本；以上定理的第一个证明是罗梭(Russel)于1936年给出的。

基本上，第一定理的证明是通过在形式公理系统中构造如下命题p = “此命题是不可证明的”来完成的。这样，它可以看成是说谎者悖论的一个现代变种。 如果公理系统是相容的，哥德尔证明了p（及其否定）不能在系统内证明。因此p是真命题（p声称它不可证明，而它确实不能）， 尽管其证明不能在系统内形式化。请注意将p作为公理加入系统并不能解决问题：扩大了的系统中会有另一个哥德尔语句出现。

罗杰·彭罗斯声称“可被机械地证明的”和“对人类来说看起来是真的”的这一区别表明人类智能不同于自然的无意识过程。 这一观点未被普遍接受，因为正如Marvin Minsky所指出的，人类智能有犯错误和理解不相容和谬误句子的能力。 但Marvin Minsky透露说哥德尔私下告诉他，他相信人类有一种到达真理的直觉方法，但因为跟计算机式的方法不同，人类可以知道为真的事情并不受他的定理限制。 对以上认为该定理揭示了人类具有超出形式逻辑之能力的这种观点也可以作如下评论：我们其实不知道p是真是假，因为我们并不（也无法）知道系统是否是相容的。 因此实际上我们并不知道系统之外的任何真理。我们所确知的只有这样一个命题：要么p在系统内部无法证明，要么该系统是不相容的。 这样的命题之前已经在系统内部被证明。实际上，这样的证明已经给出。

5: 影响

哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。 某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”

但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。 2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。

有意思的是，在现今十分热门的人工智能领域，哥德尔不完全性定理是否适用也成为了人们议论的焦点。 1961年，牛津大学的哲学家卢卡斯提出，根据哥德尔不完全性定理，机器不可能具有人的心智。他的观点激起了很多人反对。 他们认为，哥德尔不完全性定理与机器有无心智其实没有关系，但哥德尔不完全性定理对人的限制，同样也适用于机器倒是事实。 哥德尔不完全性定理的影响如此之广泛，难怪哥德尔会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一，受到人们的永恒怀念。 美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家中，排在第一的就是哥德尔。